Atom hidrogenik

Marilah kita memperhatikan sebuah atom hidrogen di mana sebuah elektron bergerak di sekitar sebuah inti sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.1. Berdasarkan pada sistem sederhana ini, kita akan mempelajari sifat fundamental dari tingkat energi dan fungsi gelombang.

Gambar 2.1 Sebuah atom hidrogenik. Z: bilangan atom, M: masa dari inti, m: masa dari elektron..

Muatan listrik dari inti dinyatakan oleh produk atau perkalian dari bilangan atom Z dan muatan elementer e. Energi potensial U diberikan oleh U = −Ze² / 4πε₀r. Dengan menggunakan rumus (1.73) untuk sistem dengan dua partikel yang diperkenalkan pada Bab 1, operator Hamiltonian ?? dari sistem ini dapat diekspresikan dengan persamaan berikut.

(2.1)

Di sini, μ adalah masa tereduksi yang diberikan oleh masa inti M dan masa elektron m dengan menggunakan persamaan berikut.

(2.2)

Ketika nilai 1/M dalam penyebut pada persamaan ini, untuk mendapatkan μ dapat diabaikan dengan mengingat bahwa M >> m, persamaan akan tereduksi menjadi μ = m dan sistem akan menjadi model yang sederhana yaitu sebuah elektron bergerak mengelilingi sebuah inti yang diam. Kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan ini tidaklah terlalu besar sebagaimana kita dapat lihat di bawah ini pada Contoh 2.1. Hal ini akan memberikan bahwa solusi persamaan gelombang dari Hamiltonian pada persamaan (1.73) yang berlaku sangat ketat untuk gerak relatif akan dapat dipahami untuk merepresentasikan gerak elektron dalam atom.
Sebuah perbandingan dengan kasus pada sebuah atom hidrogen (Z = 1) mengindikasikan bahwa faktor e² dengan sederhana dapat digantikan oleh Ze² dalam ekspresi untuk energi potensial. Karenanya dari persamaan (1.79) dan (1.80) tingkat-tingkat energi akan diberikan oleh persamaan berikut.

(2.3)

(2.4)

Di sini, n adalah bilangan kuantum utama yang menentukan tingkat-tingkat energi. W(Z) adalah energi yang diperlukan untuk mengeluarkan satu elektron dari atom hidrogenik. Kuantitas ini untuk Z = 1 berkaitan dengan energi ionisasi dari atom hidrogen W_H.
Contoh 2.1 Dalam kelipatan berapa dari jumlah energi yang diperlukan untuk menghasilkan sebuah ion dipositif seperti pada Helium (He²⁺) dengan memindahkan sebuah elektron dari sebuah ion Helium (He²⁺) jika dibandingkan dengan energi ionisasi dari atom Hidrogen?
(Jawaban) Energi ionisasi sebuah atom bergantung pada masa tereduksi μ dan bilangan atom Z. Pendekatan atas rasio masa dari proton dan elektron yang berkisar 1836:1 dan juga pendekatan atas masa inti atom hidrogen dan helium sebesar 1:4, kita akan mendapatkan rasio masa tereduksi sebesar

Sedangkan untuk perbedaan bilangan atom akan memberikan Z(He)2 / Z(H)2 = 2² / 1² = 4 . Hal ini akan memberikan rasio sebenarnya dan diperoleh sebesar 4.0016.

Jika perbedaan pada masa tereduksi dapat diabaikan dengan menuliskan μ(He) = μ(H) = m, kemudian W(2) = 4W_H, akan menghasilkan jawaban yaitu 4 untuk rasio yang diperoleh.
Dengan menggunakan operator Hamiltonian dalam persamaan (1.77), persamaan gelombang dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat polar sebagai berikut.

(2.5)

Sebagaimana telah dipelajari tentang momentum sudut, Legendrian Λ hanya terdiri dari koordinat sudut (θ,φ) , dan ini memenuhi persamaan dengan fungsi harmonik sudut Y_l,m.

(2.6)

Dengan memperhatikan persamaan ini, marilah kita mengambil fungsi gelombang dalam bentuk sebagai berikut.

(2.7)

Dari persamaan (2.5) – (2.7), kita akan mendapatkan

(2.8)

Fungsi Ψ yang diperkenalkan pada persamaan (2.7) dapat menjadi solusi dari persamaan gelombang untuk atom hidrogenik, dengan persyaratan bahwa fungsi R(r) akan ditentukan untuk memenuhi kondisi [ ] = 0. Dalam cara ini, fungsi gelombang dari atom hidrogenik diberikan dalam bentuk yang merupakan produk dari bagian radial R(r) dan bagian sudut Y_l,m (θ,φ) .
Persamaan untuk menentukan R(r) diberikan sebagai berikut.

(2.9)

Dengan memecahkan persamaan diferensial ini untuk mendapatkan persamaan yang kontinyu dan finit, nilai eigen energi E akan sesuai dengan persamaan (1.79) dan (1.80) dan batasan-batasan terhadap n dan l dapat diturunkan.

(2.10)

Fungsi-fungsi R(r) untuk bagian radial diekspresikan dalam bentuk persamaan matematik yang dikenal sebagai polinomial Laguarre, L_α dan sebuah fungsi dari r yang diberikan di bawah ini sebagai ρ.

Tabel 2.1 Bagian radial dari fungsi gelombang R_n,l(r)

Di sini, L_α^β adalah polinomial Laguerre terasosiasi, a₀adalah konstanta yang sama dengan radius Bohr, a_s ketika μ = m. Sebagaimana dapat dilihat pada Contoh 2.1, kesalahan-kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan μ = m adalah sangat kecil yaitu kurang dari 0.1%. Sehingga, a₀ dapat dikatakan sama dengan radius Bohr a_s. Tabel 2.1 menunjukkan bagian radial dari fungsi gelombang R_n,l yang diperoleh dari persamaan (2.11) − (2.15). Grafik dari fungsi R_n,l untuk hidrogen ditunjukkan pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Bagian radial R_n,l dari fungsi gelombang atom hidrogen.

Karena kuadrat dari nilai absolut dari persamaan gelombang sebanding dengan kemungkinan untuk menemukan sebuah partikel, maka bentuk dari R_n,l akan menentukan perilaku sebuah elektron dalam atom sebagai fungsi terhadap jarak r terhadap inti atom. Ini adalah sebuah hal yang sangat penting dalam berbagai fenomena kimia dan dalam kaitannya dengan perilaku elektron dalam atom-atom yang lain. Sebagaimana dapat dilihat pada Tabel 2.1 dan Gambar 2.2, bagian radial dari fungsi gelombang R_n,l memiliki sifat matematika yang diberikan sebagai berikut. Dalam hubungannya dengan sifat-sifat ini, tanda karakteristik tentang kebergantungannya pada r dan probabilitas untuk menemukan sebuah elektron dalam atom ditunjukkan dalam [ ]. Sebagaimana akan ditunjukkan dalam bagian 2.2, kebergantungannya pada r dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron adalah sebanding dengan r²R_n,l² .

[Sifat matematik dari bagian radial fungsi gelombang dan kebergantungannya pada r untuk probabilitas menemukan sebuah elektron]

1. Dikarenakan adanya sebuah fungsi eksponensial maka nilai fungsional akan mendekati nilai 0 secara asimtotik bersamaan dengan meningkatnya r [bergerak ke arah luar dari inti atom, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan menghilang].
2. Koefisien dari r dalam eksponen akan mengecil untuk bilangan kuantum utama, n yang besar dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati 0 lebih lambat untuk n yang lebih besar. [Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan berkembang pada daerah jauh dari inti jika berpindah dari bilangan kuantum utama n = 1, n = 2 dan n = 3].
3. Nilai fungsional pada r = 0 adalah 0 kecuali untuk l = 0 [tidak ada kemungkinan untuk menemukan sebuah elektron pada inti kecuali untuk l = 0]
4. Terdapat n − l − 1 jarak (bola) di mana tidak ada elektron yang dapat ditemukan dengan nilai fungsi jarak yang nol. [Dalam kasus n − l > 1 , probabilitas untuk menemukan sebuah elektron menurun hingga daerah terluar dan memiliki sifat berosilasi].

Bilangan kuantum utama, n memiliki arti yang sangat penting yang mengklasifikasikan tingkat-tingkat energi. Dan juga mengkarakterisasi sifat spasial dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron. Hal ini akan memberikan keadaan bahwa elektron-elektron dalam sebuah atom akan bergerak keluar pada pembentukan kulit elektron yang disebut sebagai kulit K (n = 1), kulit L (n = 2), kulit M (n = 3), kulit N (n = 4), kulit O (n = 5), kulit P (n = 6) dan seterusnya. Kecenderungan ini berkaitan dengan radius orbital dalam model Bohr yang semakin membesar, dan berkaitan dengan meningkatnya n.
Dalam model Bohr, gerakan sebuah elektron yang tergabung dalam suatu kulit elektron tertentu dibatasi pada orbit melingkar yang sederhana. Dalam mekanika kuantum, gerakan elektron menjadi hal yang sangat kompleks dikarenakan bentuk dari fungsi gelombang bergantung tidak hanya oleh n akan tetapi juga pada l dan m. l dan m adalah juga bilangan kuantum yang menyatakan suatu keadaan atom dan fungsi-fungsi gelombangnya. l disebut sebagai bilangan kuantum azimut dan m disebut sebagai bilangan kuantum magnetik. l berkaitan dengan arah dan membentuk fungsi gelombang dan l berkaitan dengan fenomena bahwa tingkat-tingkat energi dapat bervariasi dengan medan magnetik.
Fungsi gelombang {Ψ} dari sebuah atom hidrogenik diekspresikan sebagai sebuah produk dari bagian radial R_n,l(r) dalam persamaan (2.13) dan fungsi harmonik sperikal Y_l.m, dan karenanya {Ψ} dinyatakan sebagai kombinasi dari tiga bilangan kuantum (n, l, m).

(2.16)

(r,θ,φ) adalah koordinat elektron terhadap posisi inti atom dan Ψ_n,l,m menyatakan gerakan elektron di dalam atom. Berdasarkan hubungan-hubungan dalam gerakan orbital elektron dalam model Bohr, fungsi gelombang untuk sebuah elektron dalam sebuah atom disebut sebagai orbital atomik. Orbital atomik untuk sembarang atom juga diekspresikan sebagai sebuah produk dari bagian radial dan bagian sudutnya (harmonik sperikal) sebagaimana ditulis pada persamaan (2.16) dan dispesifikasikan oleh 3 buah bilangan kuantum (n, l, m). Meskipun bagian sudut dari orbital atomik adalah sama untuk atom hidrogenik dan sembarang atom, bagian radialnya berbeda untuk keduanya. Sifat karakteristik untuk bagian radial (1)-(4) yang diberikan di atas adalah berlaku secara umum untuk semua atom.
Sebagaimana disebutkan untuk momentum sudut terdapat beberapa batasan untuk dua bilangan bulat l dan m yang berkaitan dengan fungsi harmonik sperikal Y_l.m. Dengan memperhatikan hubungan antara l dan n dalam persamaan (2.10) kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.

(2.17)

(2.18)

Terdapat n kasus dari nilai-nilai l untuk n yang sama (kulit elektron ke-n) dan terdapat 2l + 1 kasus dari nilai-nilai m untuk nilai l yang sama. Ini akan menuju pada keadaan bahwa kombinasi yang dapat diterima untuk l dan m untuk suatu kulit elektron tertentu seperti pada kulit ke-n dapat ditentukan dengan n² melalui perhitungan berikut.

(2.19)

Karenanya, terdapat 1² = 1 fungsi gelombang untuk kulit K, 2² = 4 untuk kulit L dan 3² = 9 untuk kulit M. Bilangan-bilangan ini berhubungan dengan batas atas dari jumlah elektron yang dapat digabungkan dalam suatu kulit elektron tertentu, sebagaimana dapat dilihat pada bagian 2.5
Meskipun tingkat-tingkat energi dari atom hidrogenik bergantung hanya pada bilangan kuantum utama sebagaimana dapat dilihat dari persamaan (2.3), fungsi gelombang menyatakan sifat statistik dari partikel bergantung pada l dan m dan juga n memiliki variasi dari bentuk-bentuk fungsinya, masing-masing, terdapat satu jenis untuk n = 1, empat jenis untuk n = 2 dan sembilan jenis untuk n = 3. Dengan kata lain, terdapat n² buah fungsi gelombang yang memiliki perbedaan jenis dan dengan tingkat energi E_n yang sama untuk semua tingkat tereksitasi (n > 1) kecuali untuk keadaan dasar (n = 1) . Fungsi gelombang memiliki generasi lipat empat untuk n = 2 dan lipat sembilan untuk n = 3.